Математические задачи в пакете MathCAD 12



         

Глава 1 Системы уравнений функция Find



5.2.1. Системы уравнений: функция Find



Рассмотрим решение системы N нелинейных уравнений с м неизвестными


Здесь f1(x1, ..., хM), ..., fN (x1, ..., XM) — некоторые скалярные функции от скалярных переменных x1,x2, ..., хM и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что систему (5.4) можно формально переписать в виде

f(x)=0, (5.5)

где х — вектор, составленный из переменных x1,x2, ... ,хM, a f (х) — соответствующая векторная функция.

Вычислительный блок Given /Find

Для численного решения систем уравнений применяется тот же самый вычислительный блок, что и для символьных вычислений (см. разд. 5.1.1). Повторимся, что он состоит из ключевого слова Given, самой системы уравнений, записанной при помощи логических операторов панели Boolean (Булевы операторы), а также встроенной функции Find. Find(x1, ... ,хM) — встроенная функция для решения системы алгебраических уравнений и неравенств относительно переменных x1,...,xM. Значение функции Find представляет собой вектор, составленный из решений по каждой переменной.

Примечание 1
Примечание 1


Встроенная функция Find использует в качестве численного алгоритма один из градиентных методов (см. разд. 5.3). Этот факт налагает некоторые ограничения на уравнения системы, которые должны быть достаточно гладкими функциями своих аргументов.



Примечание 2
Примечание 2


При численных расчетах может быть найден только один из корней уравнения, в отличие от символьных вычислений, которые позволяют определить все имеющиеся корни.



Применение численного нахождения корней отличается от символьного двумя обстоятельствами:

  • вместо оператора символьного вывода после функции Find следует использовать оператор численного вывода (знак равенства);
  •  перед вычислительным блоком Given/Find должны быть заданы начальные значения (guess value) для всех неизвестных, т. е. всем переменным x1, ... ,хM, относительно которых решается уравнение, следует предварительно присвоить некоторые численные значения, с которых и будет начинаться поиск корня. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерном местонахождении корня и связано с проблемой локализации корней, упомянутой в начале разд. 5.2.


Примечание 3
Примечание 3


Помните также о том, что, в отличие от символьного, для численного процессора необходимо задать числовые значения всех параметров, входящих в уравнение.



Одно уравнение с одним неизвестным

Рассмотрим в качестве примера (листинг 5.8) одно уравнение с одним неизвестным, которое уже решалось нами аналитически (см. листинги 5.1 и 5.2). Уравнение имеет три корня, как видно из графика, приведенного на Рисунок 5.4. Обратите внимание, что перед ключевым словом Given переменной х присваивается некоторое значение х=1. В остальном применение функции Find для решения уравнения не отличается от символьных расчетов.









Содержание  Назад  Вперед